пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 семестр:
» Матан
» ангем
I семестр:
» Алгебра
» Матан

10.Фундаметнальные последовательности, критерий Коши сходимости последовательности

Фундаментальная последовательность -  последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.


Последовательность точек \{x_n\}_{n=1}^\infty метрического пространства (X, \rho) называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

для любого \varepsilon >0 сущ. такое натуральное N_\varepsilon, что p(x_n,x_m)<\varepsilon для всех n,m>N_\varepsilon


Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость:

Пусть последовательность имеет конечный предел. Докажем, что она является фундаментальной.
Пусть \exists \lim_{n \to \infty }x_n=a по определению предела последовательности: \forall \varepsilon >0\; \exists N_\varepsilon |x_p-a|<\varepsilon

Поскольку \varepsilon произвольное, то мы можем взять вместо него, к примеру, \frac{\varepsilon }{2}:

p=n>N_\varepsilon |x_n-a|<\frac{\varepsilon }{2}
p=m>N_\varepsilon |x_m-a|<\frac{\varepsilon }{2}
\Bigl|x_n-x_m\Bigl|=\Bigl|(x_n-a)+(a-x_m)\Bigl|\leq\underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-a\Bigl|}}} + \underset{\underset{\frac{\varepsilon}{2}}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_m-a\Bigl|}}}< \varepsilon
То есть: |x_n-x_n|<\varepsilon, а значит, \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } —   фундаментальная по определению.
Необходимость доказана.

Достаточность:

Пусть \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } — фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет конечный предел. Сначала покажем, что \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } — ограничена.
Поскольку \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } — фундаментальная последовательность, то по определению фундаментальной последовательности:
\forall \varepsilon >0 \; \exists N_\varepsilon :\forall n>N_\varepsilon и \forall m>N_\varepsilon |x_n-x_m|<\varepsilon

Так как \varepsilon произвольное, то возьмем \varepsilon =1

\Bigl|x_n\Bigl|=\Bigl|(x_n-x_{N\epsilon})+x_{N\epsilon}\Bigl| \leq\underset{\underset{1}{\leq}}{{\underbrace{\Bigl|x_n-x_{N\epsilon}\Bigl|}}}+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|\leq 1+ \Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|
\forall n \geq N_\varepsilon: |x_n|<(1+|x_{N\epsilon}|)=const=C \Bigl|x_n\Bigl|\leq C
C=\max\{1+\Bigl|x_{N\epsilon}\Bigl|;\Bigl|x_1\Bigl|,\Bigl|x_2\Bigl|,...,\Bigl|x_{N\varepsilon-1}\Bigl|\} \Rightarrow
\Rightarrow \forall n \epsilon \mathbb{N} : \Bigl|x_n\Bigl|\leq C \Rightarrow
\left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } — ограничена.

По теореме Больцано-Вейерштрасса последовательность \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } имеет сходящуюся подпоследовательность \left \{ x_n_k \right \}_{k=1}^{\infty }

Пусть \lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a, покажем, что число aa и будет пределом всей последовательности \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty }:
Поскольку \left \{ x_n \right \}_{n=1}^{\infty } фундаментальная:
\forall \varepsilon>0\ \exists n_\varepsilon : \forall n,m > n_\varepsilon |x_n-x_m| <\frac{\varepsilon}{2}

Так как \{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} сходящаяся:
\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{x_{n_k}}=a : \forall \varepsilon>0\ \exists k_\varepsilon :\forall n_k \geq n_{k_\varepsilon}
|x_{n_k}-a|<\frac{\varepsilon}{2}
\forall \varepsilon>0 : |x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\leq |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon
Возьмём N_\varepsilon = \max\{n_\varepsilon, n_{k_\varepsilon}\}, тогда:\forall \varepsilon >0\ \exists\ N_\varepsilon : \forall n\geq N_\varepsilon : |x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

Достаточность доказана.



17.01.2016; 09:30
хиты: 137
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь