пользователей: 21277
предметов: 10471
вопросов: 178106
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

2 семестр:
» Матан
» ангем
I семестр:
» Алгебра
» Матан

3. Лемма Бореля-Лебега (о конечном покрытии отрезка интервалами)

[a,b]\subset \cup _\alpha I_\alpha ,  то  \exists I_\alpha \vee I_\alpha _1 \vee...\vee I_\alpha _n\supset [a,b]

\forall \alpha I_\alpha - интервал 


 

(Говорт, что сисема S={X} множеств Х окрывает множ-во Y, если любой эл-т y множ-ва Y содержится по крайней мере в одном из множ-ва Х системы S

Подмнож-во множ-ва S={X}, являющегося системой мн-жеств, будем называть подсистемой системы S. Таким образом, подсистема системы мн-жеств сама явл. системой мн-жеств того же типа) 

Лемма Бореля-Лебега. В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок. 

Пусть S={U} -- система интервалов U, покрывающая отрезок [a,b]=\small I_1. Если бы отрезок \small I_1 не допускал покрытия конечным набором интервалов сстемы S, то, поделив \small I_1 пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим  \small I_2, тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком \small I_2 проделаем ту же процедуру деления пполам, получим отрезок  \small I_3  и т.д. 

Таким образом, возникает последовательность \small I_1\supset I_2\supset ...\supset I_n\supset ... вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интерваллами систеы S. Поскольку длинна отрезка полученного на n-ом шаге, по построению равно \small |I_n|=|I_1|\cdot 2^{-n}, то в последовательности \small \left \{ I_n \right \} есть отрезки сколь угодно малой длинны. По лемме о вложенных отрезках сущ. точка с, принадлежащая всем отрезкам \small I_n , n\in \mathbb{N}. Поскольку \small c \in I_1 = [a,b], то найдется интервал \small ]\alpha ,\beta [=U\in S системы S, содержащий точку с, т.е. \small \alpha <c<\beta.  Пусть \small \varepsilon =min\left \{ c-\alpha , \beta -c \right \}. Найдем в построенной пследовательности такой отрезок \small I_n, что \small |I_n|<\varepsilon, заключаем, что \small I_n\subset U=]\alpha ,\beta [.  Но это противоречит тому, что отрезок \small I_n нельзя открыть конечным набором интерваллов системы. 


16.01.2016; 12:19
хиты: 35
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь