3. Лемма Бореля-Лебега (о конечном покрытии отрезка интервалами)

  то  

интервал 

(Говорт, что сисема S={X} множеств Х окрывает множ-во Y, если любой эл-т y множ-ва Y содержится по крайней мере в одном из множ-ва Х системы S

Подмнож-во множ-ва S={X}, являющегося системой мн-жеств, будем называть подсистемой системы S. Таким образом, подсистема системы мн-жеств сама явл. системой мн-жеств того же типа) 

Лемма Бореля-Лебега. В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок. 

Пусть S={U} -- система интервалов U, покрывающая отрезок [a,b]=. Если бы отрезок  не допускал покрытия конечным набором интервалов сстемы S, то, поделив  пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим  , тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком  проделаем ту же процедуру деления пполам, получим отрезок    и т.д. 

Таким образом, возникает последовательность  вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интерваллами систеы S. Поскольку длинна отрезка полученного на n-ом шаге, по построению равно , то в последовательности  есть отрезки сколь угодно малой длинны. По лемме о вложенных отрезках сущ. точка с, принадлежащая всем отрезкам . Поскольку  то найдется интервал  системы S, содержащий точку с, т.е. .  Пусть . Найдем в построенной пследовательности такой отрезок , что , заключаем, что   Но это противоречит тому, что отрезок  нельзя открыть конечным набором интерваллов системы.