Пусть задана последовательность отрезков (сегментов)
,вложенных друг в друга, т. е. таких, что 
, с длинами, стремящимися к нулю.
. Тогда существует и притом единственная точка 
(число), одновременно принадлежащая всем отрезкам 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что 
при любом заданном натуральном 
. Это показывает, что числа 
не убывают и ограничены сверху числом 
при любом и существует число , к которому стремится переменная 
. При этом 
. Так как в этих неравенствах натуральные 
и произвольные, то, в частности, 
. Следовательно, 
, каково бы ни было 
.
Найденная точка - единственная. Допустим, что существует другая точка 
. Тогда 
, откуда 
но это противоречит тому, что 
.
З а м е ч а н и е. В теореме 1 существенно, что в ней рассматриваются отрезки 
, а не интервалы, как показывает следующий пример. Интервалы 
вложены друг в друга, их длина 
, но нет ни одной точки, принадлежащей одновременно коэффициентов отражения всем этим интервалам.
В самом деле, любая точка 
не принадлежит к любому из интервалов 
. Если же 
, то найдется такое , что 
и 
.
