Корень многочлена. Теорема Безу и её следствие.

Корень многочлена (не равного тождественно нулю) $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ над полем K — это элемент $c\in K$ , такой, что выполняются два следующих равносильных условия:

данный многочлен делится на многочлен $x-c$ ;
подстановка элемента c вместо x обращает уравнение $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0$ в тождество.

Говорят, что корень $c$ имеет кратность $m$ , если рассматриваемый многочлен делится на $(x-c)^m$ и не делится на $(x-c)^{m+1}.$

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на бином $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Следствия

Число $a$ является корнем многочлена $p(x)$ тогда и только тогда, когда $p(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ ).
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть $a$ — целый корень приведённого многочлена $A(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $A(k)$ делится на $a-k$ .