Если поместить тело, например, бесконечную пластинку толщиной δ и начальной температурой T0 в горячую среду с температурой Tf, то пластинка, получая энергию от горячей среды, будет нагреваться, и ее температура изменяется с течением времени в каждой точке. Температурное поле .jpg)
, т.е. распределение температур в пространстве и во времени, находят решением дифференциального уравнения (ДУ) теплопроводности. Вывод ДУ теплопроводности основан на законе сохранения энергии и использует закон Фурье. Уравнение Фурье моделирует процессы, которые в процессе теплопроводности протекают в каждом элементарном объеме тела: 1) поглощение тепловой энергии при нагреве или выделение при охлаждении; 2) прохождение теплоты через элементарный объем транзитом; 3) выделение или поглощение теплоты за счет действия внутренних источников или стоков теплоты мощностью qv. Т.о. дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между пространственным и временным изменениями температуры. Дифференциальное уравнение Фурье для тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр и шар или сфера) с постоянными физическими коэффициентами: .jpg)
– коэффициент температуропроводности, м2/с, x1 – первая координата в ортогональной системе координат: x1 = x в декартовой системе координат,x1= r в цилиндрической и сферической системах координат; k = 1, 2 или 3 – коэффициент формы тела: k = 1 – бесконечная пластина; k = 2 – бесконечный цилиндр; k = 3 – шар, где .jpg)
– удельная объемная теплоемкость, Дж/(м3×К); ρ – плотность, кг/м3; с – удельная массовая теплоемкость, Дж/(кг×К).
При отсутствии в системе внутренних источников\стоков теплоты (qv = 0) дифференциальные уравнения Фурье для тел простейшей формы записываются следующим образом:
.jpg)
