Закон (уравнение) Бернулли является (в простейших случаях[1][2][3][4]) следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости:
Здесь
.png)
плотность жидкости,
.png)
скорость потока,
.png)
высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости,
.png)
давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости,
.png)
Уравнение Бернулли также может быть выведено как следствие уравнения Эйлера, выражающего баланс импульса для движущейся жидкости[5].
В научной литературе закон Бернулли, как правило, называется уравнением Бернулли[6](не следует путать с дифференциальным уравнением Бернулли), теоремой Бернулли[7][8] или интегралом Бернулли[5][9].
Константа в правой части часто называется полным давлением и зависит, в общем случае, от линии тока.
Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Следует обратить внимание на то, что третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приводимый в приложении вывод уравнения Бернулли) и не представляет собой запаса какого-либо специального вида энергии («энергии давления»[10]).
Соотношение, близкое[11] к приведенному выше, было получено в 1738 г. Даниилом Бернулли, с именем которого обычно связывают интеграл Бернулли. В современном виде интеграл был получен Иоганном Бернулли около 1740 года.
Для горизонтальной трубы высота h постоянна и уравнение Бернулли принимает вид:
.png)
.
Эта форма уравнения Бернулли может быть получена путём интегрирования уравнения Эйлера для стационарного одномерного потока жидкости, при постоянной плотности .png)
: .png)
.
.png)
Согласно закону Бернулли, полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока.
Полное давление состоит из весового .png)
, статического .png)
и динамического .png)
давлений.
В реальных потоках жидкости присутствуют силы вязкого трения. В результате слои жидкости трутся друг об друга в процессе движения. На это трение затрачивается часть энергии потока. По этой причине в процессе движения неизбежны потери энергии. Эта энергия, как и при любом трении, преобразуется в тепловую энергию. Из-за этих потерь энергия потока жидкости по длине потока, и в его направлении постоянно уменьшается. Т.е. напор потока Hпотока в направлении движения потока становится меньше. Если рассмотреть два соседних сечения 1-1 и 2-2, то потери гидродинамического напора Δh составят:
.png)
,
где H1-1- напор в первом сечении потока жидкости,
H2-2 - напор во втором сечении потока,
∆h - потерянный напор - энергия, потерянная каждой единицей веса движущейся жидкости на преодоление сопротивлений на пути потока от сечения 1-1 до сечения 2-2.
С учётом потерь энергии уравнение Бернулли для потока реальной жидкости будет выглядеть
.png)
Индексами 1 и 2 обозначены характеристики потока в сечениях 1-1 и 2-2.
Если учесть, что характеристики потока V и α зависят от геометрии потока, которая для напорных потоков определяется геометрией трубопровода, понятно, что потери энергии (напора) в разных трубопроводах будут изменяться неодинаково. Показателем изменения напора потока является гидравлический уклонI, который характеризует потери напора на единице длины потока. Физический смысл гидравлического уклона – интенсивность рассеяния энергии по длине потока. Другими словами, величина I показывает, как быстро трубопровод поглощает энергию потока, протекающего в нём
.png)
.
Изменение энергии по длине потока удобно проследить на графиках. Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости (закона сохранения энергии) видно, что гидродинамическая линия для потока реальной жидкости (с одним источником энергии) всегда ниспадающая. То же справедливо и для пьезометрической линии, но только в случае равномерного движения, когда скоростной напор .png)
а уменьшение напора происходит только за счёт изменения
