Градиент функции двух переменных.

Градиентом функции ( $\grad f$ ) будем называть вектор из частных производных функции. Частная производная -- это предел отношения приращения функции к приращению аргумента только по одной переменной.

Пусть $ M$ -- точка на построенной прямой, тогда

$\displaystyle f(M)=f(x_0+t\cos\alpha, y_0+t\cos\beta, z_0+t\cos\gamma).$

И в новой записи (производная сложной функции):

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial... ...ace{300pt} =(\grad f, l)=\text{Пр}_{l}\grad f\\ \end{array} \end{displaymath}$

Пусть $l=\frac{\grad f}{\vert\vert\grad f\vert\vert}$ . Тогда $\frac{\partial f}{\partial l}=(\grad f,\frac{\grad f}{\vert\vert\grad f\vert\vert})=\vert\vert\grad f\vert\vert.$ Но, исходя из того, что производная по направлению -- проекции градиента на направление $ l$ , получим $\frac{\partial f}{\partial l}\leqslant\vert\vert\grad f\vert\vert$ . Значит, $\frac{\partial f}{\partial l}$ -- наибольшая, если $ l$ совпадает с направлением градиента.

Определение 1. Градиент -- вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.