Частные производные высших порядков. Смешанные частные производные

Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

= , = .

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2n штук.

Частная производная порядка р функции имеет вид

, где .

смешанные частные производные

Определение

Пусть функция $z=f(x,\;y)$ , и ее частные производные

$\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}$

определены в некоторой окрестности точки $(x_0,\;y_0)$ . Тогда предел

$\lim_{\Delta y \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0, y_0 + \Delta y)}{\partial x} - \frac{\partial f(x_0,\;y_0)}{\partial x} }}{\Delta y}},$

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции $f(x,\;y)$ в точке $(x_0,\;y_0)$ и обозначается $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial y \partial x}$ .

Аналогично определяется $\frac{\partial^2 f (x_0,\;y_0)}{\partial x \partial y}$ как

$\lim_{\Delta x \to 0 }{\frac{\displaystyle{\frac{\partial f ( x_0 + \Delta x,\;y_0)}{\partial y} - \frac{\partial f ( x_0,\;y_0)}{\partial y}}}{\Delta x}},$

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.