Экстремумы функций.Необходимое и достаточное условие экстремума.

Пусть функция $ f(x)$

определена в некоторой окрестности ${E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ , ${{\delta}>0}$ , некоторой точки $ x_0$

своей области определения. Точка $ x_0$

называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$

выполняется неравенство $f(x)\leqslant f(x_0)$ ( $\forall x\in E$ ), и точкой локального минимума, если $f(x)\geqslant f(x_0)$ $\forall x\in E$ .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$ .

Теорема 7.4 Если точка -- это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5).

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция $ f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $ x_0$ , то либо
1) $ f'(x_0)=0$ , либо
2) производная $ f'(x_0)$ не существует.

Точка $ x_0$ называется критической точкой функции $ f(x)$ , если $ f(x)$ непрерывна в этой точке и либо $ f'(x_0)=0$ , либо $ f'(x_0)$ не существует. В первом случае (то есть при ) точка $ x_0$ называется также стационарной точкой функции $ f(x)$ .

Итак, локальный экстремум функции $ f(x)$ может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.