Основные свойства непрерывных функций
Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке a непрерывна справа, а в точке b - слева.
Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда:
1) она ограничена на этом сегменте;
2) если , то на сегменте [a, b] существуют точки x1 и x2 такие, что f(x1) = m, f(x2) = M (теорема Вейерштрасса);
3) она принимает на каждом сегменте , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши).
В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0.
Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.