Непрерывность функций

Определение непрерывности функции

Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1) ;     (1)

2) для произвольной последовательности (xn) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x0, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x0);

3)  или f(x) - f(x0) → 0 при x - x0 → 0;

4)  такое, что

или, что то же самое,

f: ]x0 - δ, x0 + δ[ → ]f(x0) - ε, f(x0) + ε[.

Из определения непрерывности функции f в точке x0 следует, что

Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции

Если функция f: X → R не является непрерывной в точке x0 ϵ X, то говорят, что она терпит разрыв в этой точке. При этом точка x0называется точкой разрыва функции f.

Точки разрыва функции f классифицируем следующим образом:

1. Пусть x0 ϵ X - точка разрыва функции f и существует , конечный или бесконечный. При этом:

а) если  конечный, то x0 называем точкой устранимого разрыва функции f;

б) если , то x0 называем точкой разрыва типа полюс.

2. Если  не существует, то точку x0 ϵ X называем точкой существенного разрыва функции f. При этом

а) если существуют конечные пределы

f(x0 - 0),   f(x0 + 0)   (f(x0 - 0) ≠ f(x0 + 0)),

то точку x0 называем точкой разрыва первого рода функции f;

б) все остальные точки существенного разрыва называем точками разрыва второго рода функции f.

Поскольку в изолированной точке x0 ϵ X функция f: X → R непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки x ϵ X.