1. Функция не может иметь более одного предела.
Докажем это свойство. Предположим противное, т.е. что функция f(x) имеет два разных предела b и с:
, , b ≠ c.
Поскольку утверждения «число b есть предел величины у» и «разность у – b есть бесконечно малая величина» равнозначны, то величины
α(x) = f(x) – b, β(x) = f(x) – c
бесконечно малы при х → а. Вычитая почленно эти равенства, получим
α(x) – β(x) = с – b ≠ 0,
что невозможно, поскольку переходя в этом равенстве к пределу при х → а, имеем: . Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.
2. Предел постоянной величины y = с есть само число с: limс = с.
Пусть y, …, z, u, v – функции, для которых существуют пределы в точке а (не исключаем случая а = ∞).
3. Предел алгебраической суммы (т.е. сумма или разность)конечного числа функций y, u, ..., z равен такой же сумме пределов этих функций:
lim(y ± u ±....± z) = limy ± limu ±....± limz;
4. Предел произведения конечного числа функций y, u, ..., z равен произведению пределов этих функций:
lim(y · u ·...· z) = limy ·limu ·...·limz.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е.
5. Предел частного равен частному пределов:
.
Если предел делителя равен нулю (limj = 0), аlimu = с ≠ 0, то запись следует понимать в том смысле, что . Таким образом, будем считать, что