Матричный метод решения.
Систему (1) записываем в матричной форме:
где 
.
Из матричного уравнения следует, что 
где 
– обратная матрица.
Обратная матрица имеет вид
,
где 
– алгебраическое дополнение к элементу 
матрицы 
, 
– номер строки, 
– номер столбца, причем алгебраическое дополнение – это определитель, полученный из элементов матрицы A путём вычёркивания 
-й строки и -го столбца.
Примеры
Рассмотрим решение системы алгебраических уравнений указанными методами.
Правило Крамера
Вычислим 
по правилу Сарруса. Для этого допишем справа два первых столбца определителя. Проведём главную диагональ и побочную, а также по две параллельных линии для каждой диагонали. Произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали, берём со знаком «плюс», а произведение элементов, стоящих на линиях, параллельных побочной диагонали, со знаком «минус»:
,
так как 
, то данная система совместна и имеет единственное решение.
Находим дополнительные определители
Следовательно, 
Метод Гаусса
Матричный метод
Запишем систему (1) в виде
где 
Решение:
Построим обратную матрицу . Вычислим алгебраические дополнения ко всем элементам, причём алгебраические дополнения, вычисленные для элементов первой строки, записываются первым столбцом матрицы .
Знак определяется как 
:
т.е. 
имеет вид:
.
Примечания: 1. При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.
2. Умножение матриц возможно, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
3. При умножении матриц элемент матрицы произведения равен сумме произведений элементов строки 1-го сомножителя матрицы на соответствующие элементы столбца 2-го сомножителя матрицы.
Находим матрицу-решение:
.
Таким образом, 
.
