Определитель II порядка вычисляется по формуле:
Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:
Основные свойства определителей:
1.1. Значение определителя не изменится, если:
- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;
- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.
Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.
1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.
1.3. Определитель равен нулю, если:
- все элементы какой-либо строки равны нулю;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;
- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.
Минором 
к элементу 
называется определитель, полученный из исходного, вычеркиванием 
-й строки и 
-го столбца.
Таким образом, порядок минора меньше порядка исходного определителя на единицу.
Алгебраическое дополнение 
– минор с соответствующим знаком, т.е.
.
Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:
.
Алгебраическое дополнение Ai,j элемента ai j определяется формулой
.
Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
.
Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:
.
Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.
Вычисление определителей n-го порядка выполняется по формуле:
т.е. определитель представляется в виде разложения по элементам -й строки.
