Умножение матриц, его свойства. Обратная матрица.

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы $A=(a_{ij})$ на число $\lambda$ называется матрица $C=(c_{ij})$ тех же размеров, что и матрица $A$ , каждый элемент которой равен произведению числа $\lambda$ на соответствующий элемент матрицы $A:$

$c_{ij}=\lambda\,a_{ij},\quad i=1,\ldots,m;~j=1,\cdots,n.$

Произведение обозначается $\lambda A$ или $A\lambda$ . Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:

$\lambda\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11}& \lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m1}&\cdots&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}\!.$

Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число.

Пример 1.4. Найти произведение матрицы $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}$ на число 2.

Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы $A$ , получаем

$C=2\cdot A=A\cdot 2=2\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot2&2\cdot2\\3\cdot2&4\cdot2\\5\cdot2&6\cdot2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.$

Матрицей, обратной матрице А, называется матрица A-1 такая, что A-1A = A A-1 = E.

Обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы. Причем сама является той же размерности, что и исходная матрица.

Можно показать, что для того, чтобы квадратная матрица имела обратную, она должна быть невырожденной (т.е. Δ ≠0 ). Это условие является и достаточным для существования A-1матрице А. Итак, всякая невырожденная матрица имеет обратную, и, притом, единственную.

Сформулируем правило нахождения обратной матрицы на примере матрицы А.
1. Находим определитель матрицы. Если Δ ≠0, то матрица A-1 существует.
2. Составим матрицу В алгебраических дополнений элементов исходной матрицы А. Т.е. в матрице В элементом i - ой строки и j - го столбца будет алгебраическое дополнение Aij (см. 1.3.) элемента aij исходной матрицы.
3. Транспонируем матрицу В и получим BT.

Транспонировать матрицу - это значит поменять строки и столбцы местами (первый столбец с первой строкой, второй столбец со второй строкой и т. д.).
4. Найдем обратную матрицу

$29.gif$

После вычисления обратной матрицы рекомендуется убедиться в том, что выполняется одна из частей условия.

$30.gif$

Пример Найдем обратную матрицу для матрицы $31.gif$

Решение

Вычисления произведем в соответствии с описанной схемой.
1. $32.gif$
2. $33.gif$
3. $34.gif$
4. $35.gif$
5. $36.gif$

или для тех кто не понял как делать..

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований.
Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось, kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01 , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image02 .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image01
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image02
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00 :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image03
Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04 .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04
Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image04 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image05 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image00
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image05

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статьеДействия с матрицами.

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image05 либо

Проверка:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image05

Получена так называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image05 , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image06

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image06 , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image06
Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image07 , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image02 .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image07 , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image07
МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image07
Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image08

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image08
Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image08 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image09 .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image09
В данном случае:
– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image09 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image10

Проверка:
kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image10

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Решить систему с матричным методом
pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im

Решение: Запишем систему в матричной форме:
pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im , где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения).

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу?

Обратную матрицу найдем по формуле:
pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im – матрица алгебраических дополнений.

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_im

Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке