пользователей: 21276
предметов: 10469
вопросов: 178036
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

экзамен:
» математика

1.Понятие матрицы. Нулевая и единичная матрица. Линейные операции над матрицами, их свойства

 

 матрица - прямоугольная таблица чисел содержащая m срок и n столбцов,

числа этой таблицы называются - элементами.

матрица у которой все элементы равные нулю называется нулевой матрицей.

Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Линейные операции над матрицами, их свойства:

1)Сложение матриц

Пусть A=(a_{ij}) и B=(b_{ij}) — матрицы одинаковых размеров m\times n. Матрица C=(c_{ij}) тех же размеров m\times n называется суммой матриц A и B, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц A и Bc_{ij}=a_{ij}+b_{ij} i=1,\ldots,m; j=1,\ldots,n. Сумма матриц обозначается C=A+B. Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:

 

\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22} &\cdots&b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12} &\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}\!.

 

Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида

 

\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix} или \begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\!.

 


 

Пример 1.3. Найти сумму двух матриц A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}.

 

Решение. Складывая соответствующие элементы матриц, получаем

 

C= \underbrace{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}_{(3\times2)}+ \underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \underbrace{\begin{pmatrix}1+0&2+1\\3+1&4+0\\5+0&6+0\end{pmatrix}}_{(3\times2)}= \begin{pmatrix}1&3\\4&4\\5&6\end{pmatrix}\!.

 


 

2)Умножение матрицы на число

 

Произведением матрицы A=(a_{ij}) на число \lambda называется матрица C=(c_{ij}) тех же размеров, что и матрица A, каждый элемент которой равен произведению числа \lambda на соответствующий элемент матрицы A:

 

c_{ij}=\lambda\,a_{ij},\quad i=1,\ldots,m;~j=1,\cdots,n.

 

Произведение обозначается \lambda A или A\lambda. Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:

 

\lambda\! \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \lambda a_{11}& \lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda a_{m1}&\lambda a_{m1}&\cdots&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}\!.

 

Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число.

 

Пример 1.4. Найти произведение матрицы A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix} на число 2.

 

Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы A, получаем

 

C=2\cdot A=A\cdot 2=2\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot2&2\cdot2\\3\cdot2&4\cdot2\\5\cdot2&6\cdot2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{pmatrix}\!.

 


 

3) разность

Матрица (-1)\cdot A называется противоположной матрице A и обозначается (-A). Сумма матриц B и (-A) называется разностью матриц и обозначается B-A. Для нахождения разности матриц B-A следует из элементов матрицы B вычесть соответствующие элементы матрицы A. Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.

 

Пример 1.5. Даны матрицы \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!,~B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\0&0\end{pmatrix}. Найти разности B-A и A-B.

 

Решение. Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим

 

B-A=\begin{pmatrix}0-1&1-2\\1-3&0-4\\0-5&0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-4\\-5&-6\end{pmatrix}\!,\quad A-B=\begin{pmatrix}1-0&2-1\\3-1&4-0\\5-0&6-0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1\\2&4\\5&6\end{pmatrix}\!.

:  ДЕЛИТЬ МАТРИЦУ НЕЛЬЗЯ!

 

 

5. Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер mx, то транспонированная матрица А' имеет размер nx

Свойства линейных операций над матрицами

 

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)= λA+ λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a)      Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b)      Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Для любых матриц A,B,C одинаковых размеров и любых чисел \alpha,\beta справедливы равенства:

или так: 

1. A+B=B+A (коммутативность сложения);

 

2. (A+B)+C=A+(B+C) (ассоциативность сложения);

 

3. существует нулевая матрица O (тех же размеров, что и A): A+O=A;

 

4. существует матрица (-A), противоположная матрице A\colon\,A+(-A)=O;

 

5. \alpha (A+B)=\alpha\,A+\alpha\,B;

 

6. (\alpha+\beta)A=\alpha\,A+\beta\,A;

 

7. (\alpha\,\beta)A=\alpha (\beta\,A);

 

8. 1\cdot A=A.


19.01.2015; 13:47
хиты: 29
рейтинг:0
Точные науки
математика
алгебра
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь