матрица - прямоугольная таблица чисел содержащая m срок и n столбцов,
числа этой таблицы называются - элементами.
матрица у которой все элементы равные нулю называется нулевой матрицей.
Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.
Линейные операции над матрицами, их свойства:
1)Сложение матриц
Пусть и — матрицы одинаковых размеров . Матрица тех же размеров называется суммой матриц и , если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матриц и : . Сумма матриц обозначается . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется поэлементно:
Из определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковых размеров. Нельзя, например, найти суммы вида
Пример 1.3. Найти сумму двух матриц .
Решение. Складывая соответствующие элементы матриц, получаем
2)Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, что и матрица , каждый элемент которой равен произведению числа на соответствующий элемент матрицы
Произведение обозначается или . Операция умножения матрицы на число выполняется поэлементно:
Умножить на число можно любую матрицу, при этом каждый ее элемент умножается на это число.
Пример 1.4. Найти произведение матрицы на число 2.
Решение. Умножая на 2 каждый элемент матрицы , получаем
3) разность
Матрица называется противоположной матрице и обозначается . Сумма матриц и называется разностью матриц и обозначается . Для нахождения разности матриц следует из элементов матрицы вычесть соответствующие элементы матрицы . Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
Пример 1.5. Даны матрицы . Найти разности и .
Решение. Вычитая друг из друга соответствующие элементы, находим
: ДЕЛИТЬ МАТРИЦУ НЕЛЬЗЯ!
5. Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:
Из определения следует, что если матрица А имеет размер mx, то транспонированная матрица А' имеет размер nx
Свойства линейных операций над матрицами
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ (A+B)= λA+ λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ (AB)=( λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:
a) Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.
b) Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.
Для любых матриц одинаковых размеров и любых чисел справедливы равенства:
или так:
1. (коммутативность сложения);
2. (ассоциативность сложения);
3. существует нулевая матрица (тех же размеров, что и ): ;
4. существует матрица , противоположная матрице ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .