пользователей: 21244
предметов: 10456
вопросов: 177505
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

32. Линейные преобразования в евклидовом пространстве. Определение. Линейное преобразование А* евклидова пространства называется сопряженным данному АГ ГА*= 0, (3) доказательства. Предложение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, и притом только одно (А*)*=А

1. Преобразование, сопряженное данному. В евклидовом пространстве наличие скалярного произведения позволяет определить некоторые важные классы преобразований. Все дальнейшее относится только к вещественным евклидовым пространствам.

Определение. Линейное преобразование А* евклидова пространства называется сопряженным данному преобразованию А, если для любых векторов x и у имеет место равенство (А(x),y)=(x,A(y))(1) Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А*. Выясним, как связаны матрицы, преобразований А и А* в некотором базисе е. Обозначим матрицы этих преобразований соответственно А и А*, а координатные столбцы векторов х и у - через ξ и η. Тогда равенство (1) можно переписать в виде clip_image002(4).jpg где Г - матрица Грама базиса е. После очевидных преобразований имеем clip_image004(2).jpg(2)

Так как ξ и η- произвольные столбцы, отсюда можно заключить, что clip_image006(3).jpg(3) где О—нулевая матрица. Чтобы сделать это заключение, вспомним, что для любой матрицы Р и столбцов единичной матрицы еi и еj, произведение clip_image008(1).jpg равно элементу pij матрицы Р. Подставляя вместо ξ и η столбцы единичной матрицы, мы можем показать, что любой элемент матрицы clip_image010(1).jpg равен нулю. Итак, матрицы преобразований А и А* связаны соотношением(3). В частности, если базис ортонормированный и Г=Е, мы имеем clip_image012(1).jpg(4).

Предложение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, и притом только одно.

Для доказательства выберем ортонормированный базис и рассмотрим преобразование В с матрицей clip_image014(1).jpg, если А - матрица заданного преобразования А. Условие (1) для преобразования В равносильно очевидному равенству clip_image016(1).jpg. Следовательно, В - преобразование, сопряженное для А. Если бы имелось два преобразования, сопряженных одному и тому же А, то в силу (4) их матрицы совпадали бы. Предложение доказано.

Поскольку (АТ)Т=А, из формулы (4) вытекает, что (А*)*=А(5). В качестве приложения, введенного в этом пункте понятия дадим «геометрическое» истолкование теоремы Фредгольма для важного частного случая систем из n уравнений с n неизвестными. Для этого рассмотрим n-мерное евклидово пространство En и ортонормированный базис к нему. Каждый столбец будем считать координатным столбцом некоторого вектора, матрицу систкмы А- матрицей линейного преобразования А.

Теорему Фредгольма .можно сформулировать так: хотя бы один вектор, x для которого А(х)=b, существует тогда и только тогда, когда вектор b ортогонален каждому у, удовлетворяющему условию А*(у)=0. Существование вектора x означает, что b принадлежит подпространству А(En). Множество векторов у- ядро преобразования А*. Мы пришли к следующей формулировке тёоремы: Множество значений преобразования А совпадает с ортонормированным дополнением ядра его : сопряжённого преобразования, А*.

Действительно, clip_image018(1).jpg. Следовательно А(En) принадлежит ортогональному дополнению ядра А*. Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают.


16.01.2015; 20:05
хиты: 19
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь