32. Линейные преобразования в евклидовом пространстве. Определение. Линейное преобразование А* евклидова пространства называется сопряженным данному АГ ГА*= 0, (3) доказательства. Предложение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, и притом только одно (А*)*=А

1. Преобразование, сопряженное данному. В евклидовом пространстве наличие скалярного произведения позволяет определить некоторые важные классы преобразований. Все дальнейшее относится только к вещественным евклидовым пространствам.

Определение. Линейное преобразование А* евклидова пространства называется сопряженным данному преобразованию А, если для любых векторов x и у имеет место равенство (А(x),y)=(x,A(y))(1) Допустим, что данное преобразование А имеет сопряженное А*. Выясним, как связаны матрицы, преобразований А и А* в некотором базисе е. Обозначим матрицы этих преобразований соответственно А и А*, а координатные столбцы векторов х и у - через ξ и η. Тогда равенство (1) можно переписать в виде  где Г - матрица Грама базиса е. После очевидных преобразований имеем (2)

Так как ξ и η- произвольные столбцы, отсюда можно заключить, что (3) где О—нулевая матрица. Чтобы сделать это заключение, вспомним, что для любой матрицы Р и столбцов единичной матрицы еi и еj, произведение  равно элементу pij матрицы Р. Подставляя вместо ξ и η столбцы единичной матрицы, мы можем показать, что любой элемент матрицы  равен нулю. Итак, матрицы преобразований А и А* связаны соотношением(3). В частности, если базис ортонормированный и Г=Е, мы имеем (4).

Предложение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, и притом только одно.

Для доказательства выберем ортонормированный базис и рассмотрим преобразование В с матрицей , если А - матрица заданного преобразования А. Условие (1) для преобразования В равносильно очевидному равенству . Следовательно, В - преобразование, сопряженное для А. Если бы имелось два преобразования, сопряженных одному и тому же А, то в силу (4) их матрицы совпадали бы. Предложение доказано.

Поскольку (АТ)Т=А, из формулы (4) вытекает, что (А*)*=А(5). В качестве приложения, введенного в этом пункте понятия дадим «геометрическое» истолкование теоремы Фредгольма для важного частного случая систем из n уравнений с n неизвестными. Для этого рассмотрим n-мерное евклидово пространство En и ортонормированный базис к нему. Каждый столбец будем считать координатным столбцом некоторого вектора, матрицу систкмы А- матрицей линейного преобразования А.

Теорему Фредгольма .можно сформулировать так: хотя бы один вектор, x для которого А(х)=b, существует тогда и только тогда, когда вектор b ортогонален каждому у, удовлетворяющему условию А*(у)=0. Существование вектора x означает, что b принадлежит подпространству А(En). Множество векторов у- ядро преобразования А*. Мы пришли к следующей формулировке тёоремы: Множество значений преобразования А совпадает с ортонормированным дополнением ядра его : сопряжённого преобразования, А*.

Действительно, . Следовательно А(En) принадлежит ортогональному дополнению ядра А*. Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают.