пользователей: 21251
предметов: 10459
вопросов: 177801
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

25. Теорема 2.

Если собственные векторы x1,…,xk принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы.

Проверим для двух векторов x1 , x2 , принадлежащих различным собственным значениям λ1 , λ2 .

Пусть они линейно зависимы. Так как векторы ненулевые, в этом случае найдется число α такое, что x1= α x2. Применяя преобразование А, мы получим А(x1 )= λ1  x1   и А(x1 )= α А(x2 )= α λ2  x2=  λ2  x1

Это означает, что λ1  x1=  λ2  x1, что невозможно при λ1 ≠ λ2. Векторы линейно независимы.

Допустим теперь, что любая система из k-1 собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям, линейно независима, и докажем это утверждение для системы из k  векторов. Пусть система векторов x1,…,xk удовлетворяет условию теоремы. Рассмотрим их равную нулю линейную комбинацию α1x1+…+ αkxk=0 Отсюда действием преобразования А и умножением на λk мы получаем α1 λ1 x1+…+ αk λk xk=0 и α1 λk x1+…+ αk λk xk=0. Почленное вычитание нам дает

α1 (λ1 – λk)x1+…+ αk-1 (λk-1 – λk ) xk-1=0 . По предложению индукции эта линейная комбинация – тривиальная, и  α1 (λ1 – λk)=0, … , αk-1 (λk-1 – λk )=0. Поскольку собственные значения попарно различны, имеем α1=…= αk-1=0. Учитывая это в α1x1+…+ αkxk=0 находим αk=0. Линейная комбинация

α1x1+…+ αkxk=0 – тривиальная. Теорема доказана.

 


16.01.2015; 19:55
хиты: 24
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь