Матрица – математический объект, записанный в виде прямоугольной таблицы, состоящий из строк и столбцов, на пересечении которых находятся элементы матрицы.
Операции над матрицей.
- Сложение матриц одного размера
- Умножение матриц (столбец*строку)
- Умножение на матричный вектор
- Умножение матрицы на скаляр
Минор матрицы А-определитель такой квадратной матрицы к-го порядка (убираем i строку и j столбец)
Алгебраическое дополнение – понятие матричной алгебры, применимо к элементу aij квадратной матрицы А, образуется путём умножения минора на (-1)^(i+j) Aij=(-1)^(i+j) *Mij
Определитель матрицы это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.
Ранг- размерность максимального не нулевого минора
Действия над матрицами
- Внесение(вынесение) минуса
- Умножение матрицы на число
- Транспонирование матрицы
- Сумма(разность) матриц одинаковой размерности
- Умножение матриц
- Нахождение обратной матрицы
Свойства определителя:
- Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером
- Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1
- Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю
- Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k
- Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю
- Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю
- Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же
- Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится
- Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.
.png)
Обратная матрица Нахождение:
- Находим определитель
- Находим матрицу миноров
- Находим матрицу алгебраических дополнений
- Находим транспонированную матрицу(At) от 3 пункта
- A^-1=1/detA * At
- Проверка: A*A^-1
