Суммой линейных функций f и g называется функция Һ, значение которой на каждом векторе
х определено равенством h(x) = f(x)+g(x). Произведением линейной функции f(x) на число а называется
функция g(х), значение которой на каждом векторе х определяется равенством g(х) = af(x).
Предложение 2 Пусть f и g — линейные функции на линейном пространстве L и x и λ— их строки коэффициентов в некотором базисе е. Тогда сумма f + g—линейная функция, имеющая строку коэффициентов x+λ в базисе е, и для произвольного числа а произведение af — линейная функция, строка коэффициентов которой в базисе е есть аx.
Для произвольного вектора x значения f и g записываются в базисе е как xξ и λξ. Тогда значение суммы f+g на том же векторе равно xξ+ λξ=(x+λ)ξ. Отсюда видно, что f + g—линейная функция со строкой – коэффициентов
x+λ.
Предложение 3. Множество L* всех линейных функций на п-мерном линейном пространстве L по отношению к введенным выше операциям. сложения и умножения на число представляет собой n-мерное линейное
пространство.
Действительно, существует взаимно однозначное отображение множества L* в множество строк длины n.
Согласно предложению 2 при этом, отображении сумме функций соответствует .сумма строк и произведению функции на число соответствует произведение строки на это число. Поскольку аксиомы линейного пространства выполнены для операций со строками, они будут выполнены и для операций в L*. Следовательно, L* линейное
Пространство изоморфное изоморфное пространству длинной n.
Линейное пространство L * всех линейных функций .на линейном пространстве S называется
сопряженным пространству L .
Предложение 4. Пространство L**n может быть отождествлено с Ln.
Доказательство. Фиксируем определенный вектор X из Lп и сопоставим каждому элементу f из L*n число f (x). Таким образом, х можно рассматривать как функцию на L*n. Эта функция линейная. Действительно, (f+g)(x)=f(x)+g(x), и, следовательно, функция х сумме элементов из L*n сопоставляет сумму чисел, сопоставляемых слагаемым. Аналогично, равенство (af)(x) = af(x) означает, что произведению элемента f на а функция х сопоставляет произведение а на число, сопоставляемое f.
Итак, х можно рассматривать как элемент из L**n.
Докажем что всё пространство Ln совпадает с подпространством в L**n. Д ля этого достаточно доказать, что сумма и произведение на число для векторов из Lп совпадают с их суммой и произведением на число, если их понимать как линейные функции на Ln. Но это очевидно.
Например, для суммы это равносильно условию f (x + у)= f (x) +f(y), верному для любых х и у из Ln
и любого f из Lп. Теперь совпадение L п и L**n вытекает из равенства их размерностей в силу предложения 2 § 2 гл. VI.
