Предложение 5, Евклидово пространство есть прямая сумма любого своего подпространства и его ортогонального дополнения.
Таким, образом, каждый вектор х из дn однозначно раскладывается в сумму векторов x` из дk и x`` из д1/k. Вектор x` называется ортогональной проекцией x на дk. Легко видеть, что вектор x`` ортогональная проекция x на д1/k .
Длина х "— ортогональной проекции x' на д1/k —называется расстоянием от вектора x до подпространства дk.
Она обладает следующим свойством минимальности.
Если вектор x представлен, как сумма векторов х' из дk и х" из д1/k, то для любого вектора у из дk , отличного от х' выполнено
Доказательство. Обозначив x` - y через z, имеем
так как z лежит дk, и следовательно 
Отсюда непосредственно вытекает доказываемое утверждение.
