Теорема 1. В комплексном пространстве все корки характеристического уравнения и только они являются собственными значениями преобразования. В вещественном пространстве то же утверждение имеет место для вещественных корней характеристического уравнения.
Левая часть характеристического уравнения представляет собой многочлен степени п. Действительно, детерминант равен алгебраической сумме произведений, в каждое из которых входит по п элементов матрицы. Содержат λ только элементы, стоящие па главной диагонали. Существует одно произведение
в котором все сомножители содержат λ. Если в какое-нибудь другое произведение вошел сомножитель 
то в него не могут войти сомножители 
. Поэтому каждый член суммы, кроме (7), содержит λ в степени не выше n — 2. Раскрывая скобки в выражении (7), выпишем два члена со - старшими степенями λ 
. Эти же члены будут старшими и во всем многочлене. Свободный член многочлена равен его значению при λ = 0, а это значение равно
(A-OE) = det А. Таким образом, многочлен в левой части равенства (6) имеет вид
Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Не представило бы труда выписать и
остальные его коэффициенты, но это нам не понадобится. Многочлен степени n, как известно, не может иметь больше чем п различных корней и всегда имеет хотя бы одни комплексный корень. Если мы рассматриваем, вещественное пространство,, то может случиться (при четном n), что характеристическое уравнение не имеет ни одного вещественного корня и, следовательно, линейное преобразование не имеет собственных значений и собственных векторов. Примером может служить поворот плоскости в комплексном пространстве каждое линейное преобразование имеет хоть одно собственное значение и, следовательно, хоть один собственный вектор.
