Не пустое множество Li(эль итое) векторов в линейном пространстве L называется линейным подпространством, если а) сумма любых векторов из L’ принадлежит L’ и б) произведение каждого вектора из L’ на любое число также принадлежит L’.
Сложение и умножение на число , определенные в пространстве L, будут такими же операциями в подпространстве L’. Справедливость аксиомы линейного пространства для L’ прямо вытекает из их справедливости в L. Таким образом, каждое линейное подпространство само является пространством
Предложение 1. Размерность линейной оболочки конечного множества этих векторов не превосходит числа этих векторов .
Пример 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнении с п неизвестными. Совокупность всех решений этой системы представляет собой подпространство в линейном пространстве столбцов высоты n.
Для доказательства достаточно сослаться на свойства решений однородной системы.
Каждая фундаментальная система решений рассматриваемой системы уравнений является базисом - в этом подпространстве.
Пример 3. В каждом линейном пространстве множество, состоящее из одного нулевого вектора, является
линейным подпространством. Это подпространство называется нулевым.
Предложение 2. Пусть 3 L'- подпространство n-мерного линейного пространства Ln. Тогда L' имеет размерность k<=n. Если k=п, то совпадает с Ln. Доказательство нужно только для того случая, когда L’- ненулевое подпространство. В этом случае мы можем, исходя из любого ненулевого вектора, построить базис в L’. Процесс построения должен закончиться не дальше, чем на n-м векторе, так как каждая линейно независимая система в L' есть такая же система в Ln и, следовательно, не может содержать более n векторов. Пусть базис в L’- содержит n векторов. Тогда любой вектор из Ln раскладывается по этому базису и, таким образом, принадлежит L’. Мы видим, что подпространство L' совпадает с Ln. Поскольку L'- есть линейная оболочка своего базиса, из. предложения 2 вытекает, что каждое подпространство конечномерного пространства есть линейная оболочка конечного множества векторов. Это относится и к нулевому подпространству, так как оно- линейная оболочка нулевого вектора.
Предложение 3. Пусть L'— подпространство в .п-мерном пространстве L . Если базис е1 . . . , ек в L’ дополнить до базиса е1 . . . , ek, ek+1 , еп в L, то в базисе e1, . . . , еп все векторы из L ' и только такие векторы будут иметь компоненты ξk+1,…,ξn = 0.
Действительно, если для вектора x имеем ξk+1,…,ξn = 0, то для х имеем 
и следовательно лежит в L’. Обратное доказывается аналогично.
Предложение 4. Пусть в п-мерном пространстве L выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов,
принадлежащих k -мерному подпространству L', удовлетворяют однородной системе. линейных уравнений
ранга п—k.
