7) Правило Крамера и матричный метод решения СЛАУ. Системы линейных алгебраических уравнений. Не нулевые решения.

                Правило Крамера.

Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, когда детерминант матрицы системы отличен от нуля, имеет решение, и при этом только одно. Это решение находится по формулам

где через  обозначен детерминант матрицы системы, а через — детерминант матрицы, получаемой из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом, свободных членов, т. г.

Д ля доказательства возьмем расширенную матрицу системы A* и припишем к ней сверху произвольную ее строку. Пусть номер этой строки i. В результате получается квадратная матрица   порядка n+1 * В этой матрице две одинаковые строки, и потому

C другой стороны, мы можем вычислить det  по определению. Итак,

Здесь через* М | обозначен детерминант'' матрицы, 'получаемой' ‘ из расширенной матрицы А* вычеркиванием 
i-го столбца. Следовательно учитывая,  что , мы можем написать

Если-, внести множитель под знак суммы, это равенство примет вид

Так определенный набор чисел х1, . . . , х п  как мы видим, удовлетворяет j-му уравнению системы. Существенно, что числа х1, . . . , х п не зависят от j и потому удовлетворяют всем уравнениям системы, т. е. являются ее решением. Существование решения доказано.

Преобразуем xi путём перестановки в  последний столбец b на i-тое место. Перестановок будет n-I поэтому

Единственность решения

Докажем от противного пусть нашлось два решения системы . Можем записать систему в виде

Или короче

Подставим полученные решения в систему тогда

Вычитая почленно второе равенство из. первого, мы получаем

Если решения не совпадают, то хоть одна из разностей  отлична от нуля. Это означает, что столбцы a1. . . an линейно зависимы. Это противоречит тому что . Теорема доказана.