преобразование п-мерного евклидова пространства En.
Тогда в En существует ортонормированный базис из собственных векторов преобразования А .
Доказательство проведем индукцией по числу измерений
пространства. Для одномерного пространства E1 теорема очевидна, так как в таком пространстве каждый
вектор- собственный для А и в качестве искомого базиса достаточно взять любой вектор длины 1.
Предположим теперь, что теорема доказана для пространств размерности r - 1, и докажем ее для r-мерных пространств. Согласно теореме 1самосопряженное преобразование А в Er имеет по крайней мере одно собственное
значение и, следовательно, хотя бы одно одномерное
инвариантное подпространство. Обозначим такое подпространство Er’ а единичный вектор в нем—через e. В силу теоремы 3 ортогональное дополнение Er-1 подпространство Er является (r- 1)-мерным подпространством,
также инвариантным относительно А.
Рассмотрим ограничение А’ преобразования А на подпространстве Er-1 Легко видеть, что это—самосопряженное преобразование в Er-1. Действительно,
равенство (А( х ), у ) =( х , А (у)) выполнено для всех векторов из Er’ а значит, и для всех векторов из Er-1 а для вектора я из Er-1 по определению А' (x) = А (х). Если x собственный вектор преобразования А', то А’(х) = А (х) = х , и он является собственным для А.
По предположению индукции в Er-1 существует ортонормированный базис e1…er-1 из собственных векторов преобразования А'. Рассмотрим систему векторов e1…er. Все векторы попарно ортогональны: e1..er-1- до построению, а е ортогонален каждому из
них, так, как Er-1 -ортогональное дополнение Er. Длина
каждого из рассматриваемых векторов равна 1. Каждый
из них является собственным для преобразования А. Таким
образом, система векторов e1… er и есть тот
базис, который нам нужно было построить.
Доказанная , нами теорема допускает матричную формулировку.
Предложение 4. Если А — симметрическая матрица.,
то ..существует ортогональная матрица S такая, что S^-1As—-диагональная матрица.
Действительно, матрица А задает самосопряженное
преобразование в ортонормированном базисе. -В качестве
S можно взять матрицу, перехода от этого базиса к базису,
построенному в .теореме. Напомним, что в базисе из собственных векторов матрица преобразования диагональная.
В теореме 1 § 3 л. IV мы рассматривали, в частности, аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии (растяжении) по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В n-мерном евклидовом векторном пространстве обобщением такого преобразования будет сжатие (растяжение) по а попарно перпендикулярным направлениям. Выберем ортонормированный базис так, чтобы его векторы имели данные направления. Тогда каждый базисный вектор перейдет в ему пропорциональный вектор λe, где λ-коэффициент сжатия. (Собственно, это свойство является аккуратным определением сжатия по попарно перпендикулярным направлениям.) В таком базисе матрица преобразования будет диагональной, причем по главной диагонали будут стоять коэффициенты сжатия. Поскольку диагональная матрица симметрична, а базис ортонормирован, сжатие по п попарно перпендикулярным направлениям будет самосопряженным преобразованием. Обратно, в силу нашей теоремы каждое самосопряженное преобразование с положительными собственными значениями будет сжатием по п попарно перпендикулярным направлениям. Нулевому собственному значению соответствует уже. не сжатие, а ортогональное проектирование,
а . отрицательному собственному значению— произведение
сжатия и симметрии.
Если λ*—собственное значение. кратности s, то eму соответствует s-мерное инвариантное подпространство Es. Действительно, иначе не мог бы существовать базис та собственных векторов: сумма всех кратностей равна п,
а число линейно независимых- векторов, принадлежащих каждому значению, не может превосходить его кратность.
При λ*> О ограничение преобразования А на Таком инвариантном пространств Es представляет собой' гомотетию, т. е. равномерное сжатие по всем направлениям в λ* раз. Рассмотрим теперь способ практического нахождения базиса, существование которого доказано в теореме. Выбрав некоторый (удобнее если ортонормированный) базис, составляем матрицу данного преобразования. Находим корни, ее характеристического многочлена det(A-λE)=0 и для каждого корня находим собственные векторы, решая систему уравнений (A-λE)ξ=0.Для простых корней нетривиальное решение системы остается пронормировать. Для корня кратности s мы получаем фундаментальную систему из s решений. Это—линейно независимые собственные векторы, но они, вообще говоря, не ортогональны
Их следует ортогонализовать и нормировать.
