29) Т е о р е м а 2. Пусть произвольные (не обязательно линейно независимые) векторы в евклидовом пространстве. Тогда детерминант матрицы

Т е о р е м а 2. Пусть произвольные (не обязательно линейно независимые) векторы в евклидовом пространстве. Тогда детерминант матрицы

составленной из их попарных скалярных произведений, положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

     Первое утверждение теоремы прямо следует из предложения 3, так как, если линейно независимы, они образуют базис в своей линейной оболочке.

   Докажем второе утверждение. Если векторы линейно зависимы, то выполнено равенство  в котором среди коэффициентов есть отличные от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов мы придем к системе линейных уравнений

которой удовлетворяют коэффициенты .Так

как система имеет нетривиальное решение, детерминант ее матрицы должен равняться нулю, что и требовалось.

Заметим, что доказанное выше неравенство Қоши—Буняковского является - частным случаем этой теоремы для r=2.