Определение. Будем говорить что на линейном пространстве L задана функция (от одного вектора), если
каждому вектору х из L сопоставлено число; задана функция от двух векторов, если каждой, упорядоченной
паре х , у векторов из L сопоставлено число.
Предложение 1. Каждая линейная функция на n-мерном линейном пространстве в произвольном базисе e1..en задается линейным однородным многочленом F(x)=x1ξ1+…xnξn.(2) От компонент вектора по этому базису. Коэффициенты многочлена x1..xn равны значениям функции на базисных векторах.
Значения функции f на векторах базиса е удобно называть компонентами (или коэффициентами) функции f в базисе е. Матрица линейного отображения n-мерного пространства в одномерное имеет размеры 1xn т.е
представляет собой строку длины. п. В нашем случае это—строка |x1..xn| . Предоставим читателю проверить это. Формула (2) . в. матричном виде записывается так
.gif)
Легко видеть, что каждая строка х по формуле (3) определяет линейную функцию. В самом деле x(ξ+u)=xξ+xu и x(αξ)=α(xξ)
Формула (6) § 3 гл. VI выражает матрицу отображения в новых базисах1 через старую матрицу отображения матрицы перехода к новым базисам. Так как в одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован раз навсегда, для линейной функции эта формула принимает вид x’=xS. Здесь x - строка коэффициентов функции - в базисе в e — строка её коэффициентов в базисе е ' = eS. Разумеется, формулу (4) легко получить и непосредственно. .Действительно, запишем f (х) в каждом из двух базисов: f(x) = xξ=x^iξ*i. Отсюда xSξ’=x’ξ’ или (xS-x’)ξ’=o. Здесь ξ*I - произвольный столбец, Подставляя на его место последовательно каждый столбец единичной матрицы, мы увидим, что каждый элемент строки xS-x’=0.
