пользователей: 21204
предметов: 10449
вопросов: 177330
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

40. Билинейные формы. Определение. Квадратичные формы. Определение.

Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве называется функция Ь от двух векторов, удовлетворяющая равенствам

b(x+y, z) = b(x,z)+b(y,z), b( αx,y) = αb(x,y), и b(x,y+z)=b(x,y)+b(x,z), b(x, αy)= αb(x,y).

clip_image002.gifclip_image004.gifВыберем в пространстве базис е1,..., еn. Значение билинейной формы b на векторах х и у может быть вычислено следующим образом

clip_image006.gifβij - значения билинейной формы на всевозможных парах базисных векторов — называются коэффициентами билинейной формы в базисе е1,..., еn. Их принято записывать в виде квадратной матрицы порядка n:

Матрица билинейной формы -

Можно написать в матричном виде:

b(x,y) = ξTBη (1)

Билинейная форма Ь называется симметричной, если для любой пары векторов b(x,y) = b(y,x)

Квадратичной формой на линейном пространстве называется функция К, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x)= b(x,x), где b — симметричная билинейная функция.

Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей соответствующей квадратичной формы К.

Согласно (1) получаем следующее выражение k(x) = ξTBξ. Правая часть — однородный многочлен 2 степени относительно ξ1, …,  ξn.  После приведения подобных формула принимает вид

clip_image008.gif
Т.1. Для каждой квадратичной формы k существует базис, в котором  

clip_image010.gifт.е. Матрица квадратичной формы является диагональной.

Диагональный вид матрицы - 


 

38.


16.01.2015; 19:22
хиты: 28
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь