34. Самосопряженные преобразования. Определение. Линейное преобразование А евклидова пространства называется самосопряженным (или симметрическим), если ... А=А* . Пр.2. Преобразования является самосопр. тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонорм. базисе симметрическая(т.е. удовл.условию А=АT). Собств. значения и собств. векторы самосопр. преобразований обладают рядом важных и интересных свойств. Т.1. Все корни характ. многочлена самосопр. преобразования вещественные.(Д).

Т.1.(Д). Обозначим через А матрицу рассматриеваемого самосопр преобразованияя в каком-нибудь ортонорм базисе. Допустим, что характер уравнение det(А-λЕ)=0 имеет комплекс корень λ0. Рассмотрим систему линейных уравнений (А- λ0Е)ξ=0 с n неизв ξ1, …,  ξn (n – размерность пространства). Матрица системы комплекс, и потому решение  ξ , вообще говоря комплекс. столбец. Нетривиальное решение обязательно сущ-ет, поскольку  det(А- λ0Е )=0. Пусть ξ0 — некоторое нетривиал решение. Подставим ξ0 в систему и умножим обе части слева на строку ξT0 :   ξT0Аξ0 = λ0 ξT0ξ0. Т.к.  ξT0ξ0=  ξ10ξ01 + ...+  ξn0ξ0n - вещественное число, то для получения противоречия достаточно показать, что веществ числом является число ξT0Аξ0. С этой целью обозначим

W = ξT0Аξ0. При трансппонировании квадрат матрица порядка 1 не меняетс, и мы имеем W=WT= (ξT0Аξ0)T=  ξT0Аξ0,  с другой стороны W  =  ξT0Аξ0. Но А — веществ симметр матрица, и следовательно А=А=АT. Поэтому мы имеем W= W  и значит, W вещественно. Разделив обе части на отличное от нуля число  ξT0ξ0, мы видим, что λ0  обязательно вещественное.