О. Вещественное линейное пространство называется евликлидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y сопоставлено вещественное число (обозначаемое (x,y)), и это соответствие удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы x, y и z и число α: 1°. (х, у) = (у, x), 2°. (х + у, z) = (х, z) + (у, z), 3°. (ах, у ) = а (х , у), 4°. (х, x) > 0, если x<>0.
Векторы х и у - перпендик. (ортогонал.), если (х, у) = 0. Пр.1. Только нулевой вектор ортогонал. Каждому вектору.
Систему векторов f1,..., fm в евклид. прост-ве назовем ортонорм., если (fi, fj)=0 при i<>j и (fi, fi)=1, для любых i и j.
Пр.2. (Д). Пусть f1,..., fm – ортонорм. сист. векторов. Рассм. рав-во α1f1+...+ αmfm=0. Из него вытекает, что αi=0, при произвол. i. Действительно, умножим скалярно на fi обе части рав-ва. Все слаг, кроме i-го, обратяться в 0, и получим α i (fi, fi) =α i =0. Т.о., каждая =0 лин. комбинация векторв — необход. тривиальная.
