Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования А,то ортогональное дополнение этого подпространства так же инвариантное подпространство
Док-во:
по индукции. предположим,что теорема доказана для пространства k-1,докажем для k мерных пространств.По теореме 1 самосопряженное преобразование А в Ek имеет хотя бы 1 собственное значение=>хотя бы одно инвариантное подпространство,обозначим его El,а еденичный вектор е. В силу теоремы 3 ортогональное дополнение Ek-1 подпространства El является k-1-мерным подпространством,также инвариантным относительно А.
Рассмотрим ограничение А` преобразования А на подпространстве Ek-1.Это самосопряженное преобразование в Ek-1.равенство (A(x),y)=(x,A(y)) выполнено для всех векторов Ek, а значит и для всех векторов из Ek-1,а для векторов из Ek-1 по определению А`(х)=А(х).Если х-собственный вектор преобразования А`,то А`(х)=А(х)=λx и он является собственным для А.
По предположению индукции в Ek-1 существует ортонормированный базис e1…ek-1 из собственных векторов преобразования А`. Рассмотрим систему векторов e1…el-1.Все вектора попарно ортогональны по построению, а е ортогонален каждому из них, т.к Ek-1 ортогональное дополнение El.Длина каждого из векторов =1,каждый из них является собственным для преобразования А=>система векторов e1…ek-1 и есть тот базис,который нам надо было построить.
