пользователей: 26808
предметов: 11633
вопросов: 212270
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


36Теорема3.Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования А,то ортогональное дополнение этого подпространства так же инвариантное подпространство.

Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования А,то ортогональное дополнение этого подпространства так же инвариантное подпространство

Док-во:

по индукции. предположим,что теорема доказана для пространства k-1,докажем для k мерных пространств.По теореме 1 самосопряженное преобразование А в Ek имеет хотя бы 1 собственное значение=>хотя бы одно инвариантное подпространство,обозначим его El,а еденичный вектор е. В силу теоремы 3 ортогональное дополнение Ek-1 подпространства El является k-1-мерным подпространством,также инвариантным относительно А.

Рассмотрим ограничение А` преобразования А на подпространстве Ek-1.Это самосопряженное преобразование в Ek-1.равенство (A(x),y)=(x,A(y)) выполнено для всех векторов Ek, а значит и для всех векторов из Ek-1,а для векторов из Ek-1 по определению А`(х)=А(х).Если х-собственный  вектор преобразования А`,то А`(х)=А(х)=λx и он является собственным для А.

По предположению индукции в Ek-1 существует ортонормированный базис e1…ek-1 из собственных векторов преобразования А`. Рассмотрим систему векторов e1…el-1.Все вектора попарно ортогональны по построению, а е ортогонален каждому из них, т.к Ek-1 ортогональное дополнение El.Длина каждого из векторов =1,каждый из них является собственным для преобразования А=>система векторов e1…ek-1 и есть тот базис,который нам надо было построить.

 


16.01.2015; 19:22
хиты: 104
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2017. All Rights Reserved. помощь