Пусть в евклидовом пространстве задан базис е1..en.Это позволяет нам записать векторы х и у в виде x=Σξe(i) y=Σne(j). (x,y)=(Σξe(i), Σne(j)) => (x,y)= Σξn(e(i), e(j))
Если базис ортонормированный,то (еi,ej )=0 при i не равном j и в сумме остаются только те слагаемые для которых i=j.т.к (еi,ej )=1 то в ортонормированном базисе (x,y)= Σξn каков бы ни был базис, рассмотрим числа (еi,ej )-всевозможные попарно скалярные произведения базисных векторов. их обозначают g(i,j) и записывать в виде матрицы
это матрица Грама базиса е1..en .В силу коммутотивности скалярного умножения g(I,j)=g(j,i) и => Г^t=Г,такие матрицы называются симметрические ξ, n координаты столбцов х,у=>(x,y)=ξ^tГn
Связь Г разных базисов. нам даны e1…en, e1…en связаных при помощи матрицы перехода S по формулам 
,через 
обозначены элем.
при произвольных i,j:.jpg)
это равенство выражает элементы матрицы Г’ базиса е через элементы матрицы Грама базиса е. Совокупность таких равенств для всех i,j равносильно Г’=S^tГS
Рассмотрим ортонормированный базис,тогда Г=Е и Г’=S^tS.Вычисляя det обоих частей:det Г’=detS^t detS=(detS)^2 => det матрицы Грама любого базиса положителен.
