Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов в этой матрице. Если RgA=0,то все столбцы нулевые и нет ни одного линейно зависимого столбца.Пусть RgA=r>0 ,покажем что в А есть линейно независимые столбцы.Рассмотри составленную из элементов матрицы А матрицу А` порядка r,детерминантом которой является базисный минор.СТолбцы А` представляют собой части столбцов А.Если бы столбцы А,в который расположен базисный минор,были линейно зависимы,то были бы и линейно зависимы столбцы А` и базисный минор равнялся бы 0. Докажем что любые p столбцов матрицы А линейно зависимы,если p>r.Составим матрицу B из этих p столбцов. RgB<=r,т.к каждый минор матрицы В является минором матрицы А и в В нет отличного от нуля минора порядка,большего чем r.=>RgB<p и хотя бы 1 из столбцов не входит в ее базисный минор.Этот столбец линейно выражается через остальные.
Следствие: Мах число линейно независимых строк в этой матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.
