Предложение 2. Пусть L ' — подпространство n-мерного линейного пространства Ln. Тогда L' имеет
размерность k=<n. Если k=n , то совпадает L` с Ln. Доказательство нужно только для того случая, когда
L’— ненулевое подпространство. В этом случае мы можем, исходя из любого ненулевого вектора, построить базис в L'. Процесс построения должен закончиться не дальше, чем на n-м векторе, так как каждая линейно независимая система в L' есть такая же система в Ln. И, следовательно, не может содержать более n векторов.
Пусть базис в L' - содержит n векторов. Тогда любой вектор из Ln раскладывается по этому базису и, таким образом, принадлежит L'. Мы видим, что подпространство L ' совпадает с Ln.
Поскольку L'- есть линейная оболочка своего базиса, из предложения 2 вытекает, что каждое подпространство конечномерного пространства есть линейная оболочка конечного множества векторов. Это относится и к нулевому подпространству, так как оно — линейная оболочка нулевого вектора.
Определение. Размерность множества значений отображения А называется рангом этого отображения.
Если ранг А равен m т. е, А (Ln) совпадает, с Lm, то каждый вектор из Lm является образом некоторого
вектора, из Ln Отображение, обладающее этим, свойством, называется наложением или сюръективкым отображением.
Предложение 2. Множество векторов из Ln , переходящих в нулевой вектор при отображении А, является линейным подпространством в Ln.
Это очевидно: если два - вектора переходят в нулевой вектор, то и их сумма переходит в нулевой вектор. Если A(x)=0, то A(αx)=αo=o.
Определение. Подпространство векторов, отображающихся, в нулевой вектор, называется ядро отображения А. Ядро отображения не может быть пустым, множеством оно во всяком случае содержит нулевой вектор. Действительно, А (о) = А (Ох) = ОА (x) = о.' Если размерность ядра отлична от нуля и ядро содержит хоть один ненулевой вектор, то Lm существуют векторы, имеющие не один прообраз, а по меньшей мере два (таким является, например, нулевой вектор из Lm). Верно и обратное утверждение если существует вектор х, который имеет два различных прообраза, т. е. А (х) = А(у) = х, то ядро А содержит ненулевой вектор. Действительно, в этом случае x-y≠o и A(x-y)=0. Отображение, при котором разные векторы имеют различные образы, называется вложением или инъективным отображением.
Предложение 3. Отображение является вложением тогда и только тогда, когда его ядро— нулевое подпространство.
