22. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Характеристическим уравнением Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.

 Рассмотрим одномерное подпр-во Li линейного пр-ва L . Базис в Li состоит из одного вектора х, ≠нулю, и каждый вектор у из Li имеет вид ах, где а — подходящее число. Если Li инвариантно относительно заданного в L  линейного преобр-я А, то А(х ) лежит в Li.=> существует число λ, что A (х)=λх .  (3)

Обратно, если для некоторого ненулевого вектора Li выполнено условие (3), то оно выполнено и для любого вектора из Li. Поэтому Li будет инвариантным подпр-ом.

О п р е д е л е н и е ,  Ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию (3), называется собственным вектором преобр-я А. Число λ в равенстве (3) называется собственным

значением. Говорят, что собственный вектор х принадлежит собственному значению λ.

- характеристическое уравнение. Это условие на λ, которому должны удовлетворять все собственные значения преобр-я А. Разумеется, в вещественном пр-ве комплексные корни характеристического уравнения не могут быть собственными значениями, так как для них не имеет смысла равенство (3). Если учитывать последнее замечание, условие, которое мы получили, является и достаточным.

О приведении матрицы преобразования к диагональному виду. Мы будем говорить, что квадратная матрица А с элементами a(i,j) имеет диагональный вид или диагональная,

если a(i,j)=0 при i≠j .

П р е д л о ж е н и е 6. Матрица линейного преобразования А в базисе e1…en имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса— собственные

векторы преобразования. Если вектор e1 собственный, то A(e1)= λ*ei и, следовательно, i-й элемент координатного столбца вектора А (еi) = λi  , а остальные элементы равны нулю. Помним, что i-й  столбец матрицы— координатный столбец А (еi).