Для доказательства мы приводили матрицу к упрощенному виду. Помимо перестановок строк и умножения базисных строк на числа, мы прибавляли к какой-либо строке матрицы одну из ее базисных строк, умноженную на число. При этом базисные строки заменяются на линейные комбинации базисных строк, а к небазисным прибавляются линейные комбинации базисных. В упрощенной матрице небазисные строки— нулевые. Значит, мы прибавили к каждой небазисной строке исходной матрицы такую линейную комбинацию ее базисных строк, что получилась нулевая строка. Отсюда непосредственно вытекает доказываемое. Первая часть теоремы будет доказана, если мы применим уже доказанное утверждение о строках к транспонированной матрице, заметив предварительно, что после транспонирования базисный минор остается базисным.
