пользователей: 21209
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

27. Т1: В n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из n векторов. (Д). Построение ортонормированного базиса ортогонализацией произвольного базиса ортогонализацией произвольного.

Такая система векторов является базисом. Мы будем называть этот базис ортонормированным. Доказательство. 1) При n=1 утверждение очевидно. Если f – ненулевой вектор, то вектор e=(|f|^-1)*f  — ортонормированная система из одного вектора. 2) Предположим, что в каждом (n-1)-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного n-мерного евклидова пространства E. Пусть f1,…fn – произвольный базис в E. Линейная оболочка векторов f1,…f(n-1) представляет собой (n-1)-мерное евклидово пространство, и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из n-1 векторов e,...e(n-1). Рассмотрим вектор fn’=fn-α1e1-…- α(n-1)e(n-1). Коэффициенты α(alfa) выберем так, чтобы вектор fn’ был ортогонален ко всем векторам e. Так как система ортонормированна имеем: (fn’,ei)=(fn,ei)- α(i), откуда α(i)=(fn,ei) теперь рассмотрим вектор en=(|f|^-1)*f . Его длина единица и он перпендикулярен векторам e1…e(n-1). Значит, система ортонормированна. Это и есть метод ортогонализации произвольного базиса.


16.01.2015; 19:22
хиты: 21
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь