Такая система векторов является базисом. Мы будем называть этот базис ортонормированным. Доказательство. 1) При n=1 утверждение очевидно. Если f – ненулевой вектор, то вектор e=(|f|^-1)*f — ортонормированная система из одного вектора. 2) Предположим, что в каждом (n-1)-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, и докажем то же утверждение для произвольного n-мерного евклидова пространства E. Пусть f1,…fn – произвольный базис в E. Линейная оболочка векторов f1,…f(n-1) представляет собой (n-1)-мерное евклидово пространство, и, по предположению индукции, там существует ортонормированная система из n-1 векторов e,...e(n-1). Рассмотрим вектор fn’=fn-α1e1-…- α(n-1)e(n-1). Коэффициенты α(alfa) выберем так, чтобы вектор fn’ был ортогонален ко всем векторам e. Так как система ортонормированна имеем: (fn’,ei)=(fn,ei)- α(i), откуда α(i)=(fn,ei) теперь рассмотрим вектор en=(|f|^-1)*f . Его длина единица и он перпендикулярен векторам e1…e(n-1). Значит, система ортонормированна. Это и есть метод ортогонализации произвольного базиса.
