Пусть функция U=f(x1…) определена в области d и m0(x1*…) внутренняя точка. Говорят, что функция в точке М0 имеет максимум если существует окрестность М0, такая, что для любой точки из этой окрестности выполняется условие f(x1…)≤f(x1*…) .
Если для окрестности М0 можно взять настолько малую, чтобы исключить равенство, то говорят, что в точке имеет место собственный максимум. Необходимые условия: Если в М0 экстремум, то все частные производные равны нулю.
Док-во:1 положим x2=x2*…, а x1 сохраним переменной. Тогда выполняется условие f(x1,x2*…)≤f(x1*…) откуда по т-ме Ферма следует, что f’x1=0 аналогично для остальных. Достаточное условие: пусть в точке М0 стационарная точка и в окрестности существуют частные производные 2-го порядка, тогда наличие экстремума определяется по 2-му дифференциалу. Он представляет собой квадратичную форму если она определена положительно, то в ней минимум.
