1)Пусть функция имеет 2-ю производную в окрестности с и f’’(c)=0 => Если в окрестности С производная имеет разные знаки имеем место перегиба. Док-во: y=f(x) имеет касательную в М, а т.к. производная имеет разные знаки, то направление выпуклости слева и справа от касательной разное.
Замечание1: В условиях предыдущей теоремы можно отказаться от требования двухкратного дифференцирования в с, и сохранить это требование для точки в окрестности С, то нужно требовать существование конечного f’(c).
Замечание 2, Так же можно и от однократного дифференцирования, но если точка перегиба будет такая, в которой касательная || OY.
2 и третье условие условие по 3-й и н-й производной доказываются аналогично.
