Функция выпуклая вверх на некотором промежутке, если всюду на этом промежутке график расположен не выше касательной к любой его точке.
M(c,f(c)) называется точкий перегиба, если существует окрестность С на оси абцисс в пределах которой слева и справа график функции имеет разные направления выпуклости.
Лемма: Пусть фкнция имеет производную в некоторой окрестности точки с при чем производная непрерывна в точке.
Если график ф-ии в М имеет перегиб, то в окрестности С график лежит по разные стороны от касательной. Необходимое условие: Если функция имеет в С 2-ю производную и график функции имеет перегиб в М, то f’’=0. Док-во: F(x)=f(x)-y; y-f©=f’(c)(x-c) => F(x)=f(x)-f’(c)(x-c)-f(c) эта функция имеет 2-ю производну. . непрерывна в С, по Лемме график лежит по разные стороны, => имеет разные знаки. Пусть f’’(c)≠0, F’(x)=f’(x)-f’(c) =>F’’(x)=f’’(x)≠0 F’(c)=0