Пусть функция U=(x,y,z) Имеет в области D частную производную по одной переменной, но это функция будет от 3-х переменных.И можем споставить вопрос о нахождении второй производной б/бх(бU/бх)=б2U/бх2=U’’хх. Аналогично с другими переменными.
Теорема: Пусть функция определена в открытой области D. Пусть в этой области существуют частные производные по всем переменным и смешанные производные б2f/бхбy, б2f/бубх. И они непрерывны в точке M(x0y0) Тогда эти производные равны в этой точке.
Док-во:рассмотрим функцию W=1/h(f(x0+h,y0+k)-f(x0+h,y0)-f(x0,y0+k)+f(x0y0))/k. Введем вспомогательную функцию v(x)=f(x,y0+k)-f(x,y0)/k она имеет производну и непрерывна. Перепишем с помощью нее W=v(x0+h)-v(x0)/h,
Теперь применим теорему Логранжа. Пользуясь существованием 2 производной снова применим формулу конечных приращений на этот раз к функции от y. W=f’’xy(x0+Qh,y0+Q1k), введем функцию от y t(y)=f(x0+h,y)-f(x0,y)/h… аналогично получаем со второй производной от yx тоже самое.
