: Если F(x,y)определена и непрерывна в области D, то она достигает в этой области свою точную верхнюю и нижнюю грань. (разность между верхней и нижней гранью называется колебаниями фона на данном множестве)
Док-во: m=inf M=sup Тогда по первой теореме Вейерштрасса M- конечное число. Предположим, что f(x)<M Это значит, что sup не достигается. Рассмотрим U(x)=1/M-f(x), U(x) – непрерывная. По первой теореме Вейерштрасса U ограничена ≤mu f(x)≤M-1/mu Число M-1/mu Есть верхняя граница, а этого быть не может т.к. sup М.
