: Если F(x,y) определена и непрерывна в d, где d ограничена и замкнута(необязательно связная), то она ограничена в этой области сверху и снизу.
Предположим, что функция не ограничена на этом промежутке, тогда для любой n на промежутке a,b найдется f(xn)≥n n->inf. По лемме Больцано-Вейерштрасса из последовательности можно извлечь частичную последовательность, которая сходилась бы к конечному пределу[xn]->x0 x0 из a,b т.к. функция непрерывна, то f(xn)->f(x0), А это невозможно т.к. f(xn)->inf, Получим противоречие.