: 1)Пусть функция U=f(x1..xm) определена в множестве Mu m-мерного пространства, точка M’(x1’…xm’) - точка сгущения, принадлежащая Mu говорят, что U непрерывна в точке M’, если имеет место равенство: lim(x1->x1’…)f()=f(x1’…xm’); В противном случае функция терпит разрыв.
2) на языке eps. Для любого eps существует б такой, что |x1-x1’|<б1… такие, что f(x1…)-f(x1’...)<eps.
3) Для функции нескольких переменных можно сформулировать теоремы о непрерывности +-*/ аналогичные для функции одной переменной.
Теорема о непрерывности сложной функции: пусть в Р: x1=u(t1..)…xm=um(t1…), p(t1…) точка множества. M(x1,…, xm)не выходит за пределы Р, когда р не выходит за пределы Р. Если U(p) непрерывна в точке p1, а f(M) непрерывна в соответствующей M’, то V=f(U1(p1),…Um(pm)) непрерывна в точке Р’
Док-во: По заданному eps, т.к. f непрерывна в М’ можно определить б>0. По заданному б в силу непрерывности U можно найти n>0и они влекут за собой U1(t1…)-U1(t1’…)<б1…; тогда выполняется |f(U1…um|-f’(U1…Um)|<eps.
