: При неопределенность 0\0. Если две функции определены и дифференцируемы в окрестности x0, то пределы при x->x0 равны 0. Тогда, если существует конечный или бесконечный предел их отношения, то существует и предел отношения их производных. И они равны. Док-во: дополним определение, что f(a)=g(a)=0 тогда эти функции окажутся непрерывными во всей окрестности, и их значения совпадают с пределами при x->a применяя теорему Коши, получим: f(x)/g(x)=f(x)-f(a)/g(x)-g(a)=f’(c)/g’(c), а если x->a =>c->a. Что и требовалось доказать.
Док-во при inf/inf: Зададим произвольное eps>0, и найдется такое n>0(≤b-a), Что при a<x<a+n будет |f’(x)/g’(x)-k|<eps/2. Возьмем a+n=x0 и возьмем x между а и x0. К этому промежутку(х,х0) применим формулу Коши: F(x)-f(x0)/g(x)-g(x0)-k=f’(c)/g’(c), а т.к. x<c<x0, то |f(x)-f(x0)/g(x)-g(x0)=f’(c)/g’(c)-k|<eps/2.
