Теорема Коши

: Пусть функции f, g непрерывны и дифференцируемы на a,b. И для любого х g’(x)≠0. Тогда существует х0 такой, что f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(x0)/g’(x0). Док-во: допустим левая чать несуществует => g(a)=g(b) => по теореме Ролля g’(x0)=0 => левая часть существует. Рассмотрим U(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a)/g(b)-g(a))(g(x)-g(a). Функция непрерывна на сегменте a,b, U’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a)/G(b)-G(a))*g’(x). U(a)=0 U(b)=0 U’(x0)=0 => f’(x0)-f(b)-f(a)/g(b)-g(a)-g’(x0)=0 =>f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(x0)/g’(x0).