Теорема Ролля

: Если функция непрерывна на сегменте a,b и дифференцируема, а f(a)=f(b), то существует x0 на этом сегменте такой, что f’(x0)=0. Док-во: т.к. функция непрерывна на сегменте, то по 2 теореме Вейерштрасса, она достигает на нем свое наибольшее и наименьшее значение. Возможны 2 случая: 1)M=m=const f(x)=const =>f’(x)=0; 2)M>m т.к. f(a)=f(b), а наибольшее и наименьшие значения не равны, то М и m достигаются во внутренней точке(a,b)=> в ней будет экстремум => f’=0