Теорема 6. (производная логарифмической функции) 
Доказательство
Вначале докажем теорему для функции y = ln x. Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = ln x получит приращение 
Воспользовавшись вторым замечательным пределом, свойствами предела функции и свойствами логарифмической функции, получаем
Теперь, так как 
то, вынося постоянную за знак производной, получаем
Теорема доказана.
Теорема 7. (производная степенной функции) 
Доказательство
Так как 
, то дифференцируя это равенство, получаем
Теорема доказана.
Теорема 8. (производная показательной функции) 
Доказательство
Так как 
, то, дифференцируя это равенство, получаем
Теорема доказана.
Теорема 9. (производные тригонометрических функций)
Доказательство
Если аргумент x получит приращение Δx, то функция y = sin x получит приращение
Воспользовавшись первым замечательным пределом и свойствами предела функции, получаем
Утверждение 1) доказано. Утверждение 2) доказывается аналогично, заметим только, что приращение функции y = cos x можно записать так:
Для доказательства утверждения 3) используем утверждения 1), 2) данной теоремы и теорему 3. Имеемs
Утверждение 3) доказано. Утверждение 4) доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Теорема 10. (производные обратных тригонометрических функций)
Доказательство
Если y = arcsin x, то x = sin y. Получаем 
. Тогда 
и утверждение 1) доказано. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.
Теорема доказана.
