Пусть функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
(f(f(t)))' = f'(x)f'(t). (3)
Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t) функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):
D y =f'(x)D x +a (D x) D x, где limD x(r) 0a (D x ) = 0. Поделив данное выражение на D t ≠ 0, будем иметь:
D y/D t=f'(x)D x/D t+ a (D x)D x/D t.
Из дифференцируемости функции x = f (t) в точке t вытекает, что
limD t(r) 0D x/D t = f'(t).
Отметим, что из дифференцируемости функции x = f(t) следует, что D x(r) 0 при D t(r) 0. Следовательно, limD t(r) 0a (D x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).
