: Последовательность называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого eps>0 существует N’, для любого N>N’ и любого p таких, что X(n+p)-x(n)<e. Свойства: Для всякой ФП все члены за исключением некоторого числа содержатся в интервале eОкрестности X(n’). Всякая числовая последовательность является ограниченной. Теорема Коши: Чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Док-во Необходимость: Пусть x(n) имеет определенный конечный предел а. По определению предела |x(n)-a|<e/2 так же для любых 2-х номеров n, n’. Отсюда |x(n)|-a|<e/2 |a-x(n’)| |<e/2 => |x(n)-x(n’)|<e. Достаточность: Если мы зафиксируем n’, то получим x(n’)-e<x(n)<x(n’)+e, то есть переменная, во всяком случае, ограничена.
